直线方程直线L过P(2,1)交X轴,Y轴正半轴于A,B1)求|OA|+|OB|的最小值,及此时L的方程2)求S三角形OAB的最小值,及此时L的方程

Question

直线方程
直线L过P(2,1)交X轴,Y轴 正半轴于A,B
1)求|OA|+|OB|的最小值,及此时L的方程
2)求S三角形OAB的最小值,及此时L的方程

Answer 1

设直线L的方程为y-1=k（x-2）,（k＜0）
令x=0,得y=-2 k+1；令y=0,得x=-1/ k+2.
于是得A（-1/ k+2,0）,B（0,-2 k+1）.
（1）.|OA|+|OB|≥|OA+OB|=|-1/ k+2+-2 k+1 |
=|（-1/ k）+（-2 k）+3 |≥|2√2+3 |.
当-1/ k=-2 k,即k^2=1/2取得最小值.
K=+-√2/2,舍去正值,k=-√2/2.
直线L的方程为：y-1=-√2/2（x-2）.
（2）.|PA|*|PB=|PA*PB|=|（-1/ k+2）（-2 k+1）|
=|（-4k）+（-1/k）+4 |≥|4+4|=8.
当-4k=-1/k,k^2=1/4时取得最小值.
K=+-1/2,舍去正值,k=-1/2.
直线L的方程为; y-1=-1/2（x-2）.