设k是正整数,且当n趋向无穷大时,极限limn^2007/[n^k-(n-1)^k]存在,其极限值是非零常数,求k.提示把（n-1）^k展开成多项式

Question

设k是正整数,且当n趋向无穷大时,极限lim n^2007/[n^k-(n-1)^k]存在,其极限值是非零常数,求k.
提示把（n-1）^k展开成多项式

Answer 1

原式=lim(n→∞)n^2007/[n^k-(n^k+C(k,1)n^(k-1)*(-1)+o(n^(k-1))]
=lim(n→∞)n^2007/(kn^(k-1)+o(n^(k-1)))
=lim(n→∞)1/(kn^(k-2008)+o(n^(k-2008)))
所以k-2008=0
k=2008