初学矩阵题当矩阵A,满足A^2=A,为什么特征值等于0或1.还有它的tr等于什么?只有1是吗?我看了几个百度知道的答案,一个一上来就说“设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX”,如何证明一定有这样一个X

Question

初学矩阵题
当矩阵A,满足A^2=A,为什么特征值等于0或1.还有它的tr等于什么?只有1是吗?
我看了几个百度知道的答案,一个一上来就说“设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX”,如何证明一定有这样一个X呢?
尽量详细点,我刚刚学这个.
最后能不能麻烦大家给我一个满足A^2=A条件的例子,同时特征值=1情况下的.
oh,特征值不是det啊。是不是eigenvalue啊？
我用的英文教材。
老师的问题是det为什么=0或1。
不好意思。

Answer 1

Aα=λα,其中λ为特征值,α为对应的非零特征向量 （这是特征值和特征向量的定义啊）
由A^2=A,则A^2α=λα
而A^2α=A*(Aα)=A*λα=λAα=λ*λα=λ^2α=λα
得λ^2=λ => λ=0或1
楼上朋友的解法有问题,即 A(A-I)=0不能推出A=0或A=I,因为这里的0是0矩阵.
试想一个对角矩阵,只要对角线上的数只有0和1就都满足A(A-I)=0
tr(A)不一定等于1,因为刚才已经说过A可以是个对角矩阵,且只要只要对角线上的数只有0和1即可,如：A为
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
满足A^2=A,但tr(A)=3,其实tr(A)=R(A),即A的迹等于A的秩.