证明多项式:f(x)=x^3-3x+a在〔0,1〕上不能有两个零点~

Question

证明多项式:
f(x)=x^3-3x+a在〔0,1〕上不能有两个零点~

Answer 1

f(x)=x*(x^2-3)+a,在[0,1)上为单增函数,所以其值是唯一且单增的,不能有两个零点.
此题也可用反证法.设0=f(x1)=f(x2)=0
则:x1^3-3x1+a=x2^3-3x2+a
x1^3-x2^3=3(x1-x2)
x1^2+x1x2+x2^2=3,可见左边三项均<1,等式不成立.
由此反证.