1平面上n个点两两相连最多可得?条线段,最多可得?个三角形第一个?是n(n-1)/2,请求第2个?

Question

1平面上n个点两两相连最多可得?条线段,最多可得?个三角形
【第一个?是n(n-1)/2,请求第2个?

Answer 1

首先想三角形的生成过程,一条线段和不与该线段共线的一点可构成一个三角形,平面内n个点,每个点作为起始端点与其他n-1个点各可连成n-1条线段,共有n(n-1)条,但是线段的两个端点各做了一次起始端点,每条线段被算了两次,故平面内线段总数应为n(n-1)/2
问题得到简化,同样的思路,每条线段作为起始边与其他n-2个点各可组成n-2个三角形,共n(n-1)(n-2)/2个,但是三角形三边各做了一次起始边,即每个三角形被算了三次,应为上述总数除以3,故最终可形成的三角形个数为
n(n-1)(n-2)/2/3=n(n-1)(n-2)/6