在两个相离的任意半径的圆内各取一个点,两点间的距离满足特定的概率分布么?假设两个圆半径大小已知,分别为R,r,且R>=r,两圆心距离已知为H,且H>=R+r也可以表述为：二维随机变量A（x1,y1）服

Question

在两个相离的任意半径的圆内各取一个点,两点间的距离满足特定的概率分布么?
假设两个圆半径大小已知,分别为R,r,且R>=r,两圆心距离已知为H,且H>=R+r
也可以表述为：
二维随机变量A（x1,y1）服从x1^2+y1^2

Answer 1

提供一个思路：设第一个圆圆心为原点,那么由于A,B服从均匀分布:
P（A=（x1,y1）,B=（x2,y2））=1/πr^2*1/πR^2,
对B用全概率公式：
P（Z^2=a^2）=P((x2-x1)^2+(y2-y1)^2=a^2)
=∫ P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2,y2=c2)）*P(x2=b2,y2=c2) db2 dc2
=1/πr^2*∫ P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2,y2=c2)）db2 dc2（由于B服从均匀分布）
为了计算简便,做变量代换（b2,c2）→（ ρ,θ）,把B分布换成极坐标的形式（注意换成极坐标后B就不是均匀分布了）
然后计算上面式子的条件分布概率：
P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2,y2=c2)）=
P（A点服从x1^2+y1^2