已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]．（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）设函数g（x）=x-4-alnx，x∈（1e，e3），a∈R，若对于任意x0∈[0，1]，总存在x1，x2∈（1e，e3），x1≠x2，使得g（x1）=g（

Question

已知函数f（x）=(4x2-7)/(2-x)，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）设函数g（x）=x-4-alnx，x∈（(1)/(e)，e³），a∈R，若对于任意x₀∈[0，1]，总存在x₁，x₂∈（(1)/(e)，e³），x₁≠x₂，使得g（x₁）=g（x₂）=f（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=(-(2x-1)(2x-7))/((2-x)2)，x∈[0，1]．…（2分）
解f′（x）>0，得(1)/(2)<x<1，
解f′（x）<0，得0<x<(1)/(2)，
所以函数f（x）在（(1)/(2)，1）上是增函数，在（0，(1)/(2)）上是减函数．…（4分）
f（(1)/(2)）=-4，f（0）=-(7)/(2)，f（1）=-3．
所以函数f（x）的单调增区间为（(1)/(2)，1），单调减区间为（0，(1)/(2)），值域为[-4，-3]．…（6分）
（2）因为对于任意x₀∈[0，1]，总存在x₁，x₂∈（(1)/(e)，e³），x₁≠x₂，使得g（x₁）=g（x₂）=f（x₀）成立，
所以函数g（x）在区间（(1)/(e)，e³）上不是单调函数．…（8分）
g（x）=1-(a)/(x)=(x-a)/(x)，x∈（(1)/(e)，e³）．
因为g（x）在区间（(1)/(e)，e³）上不是单调函数，所以(1)/(e)<x≤a，①且易知g（x）在区间（(1)/(e)，a）上是减函数，在区间（a，e³）上是增函数．…（10分）
当(1)/(e)<x≤a时，g（a）≤g（x）<(1)/(e)-4+a；当a≤x<e<3<时，g（a）≤g（x）<e³-4-3a．
根据题意，得g（a）<-4，②(1)/(e)-4+a>-3，③e³-4-3a>-3．④…（14分）
解由①②③④组成的不等式组，得e<x<(e3-1)/(3)．
所以a的取值范围为（e，(e3-1)/(3)）…（16分）