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已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设函数g(x)=x-4-alnx,x∈(1e,e3),a∈R,若对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(1e,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(

题目详情
已知函数f(x)=
4x2-7
2-x
,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设函数g(x)=x-4-alnx,x∈(
1
e
,e3),a∈R,若对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(
1
e
,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)f′(x)=
-(2x-1)(2x-7)
(2-x)2
,x∈[0,1].…(2分)
解f′(x)>0,得
1
2
<x<1,
解f′(x)<0,得0<x<
1
2

所以函数f(x)在(
1
2
,1)上是增函数,在(0,
1
2
)上是减函数.…(4分)
f(
1
2
)=-4,f(0)=-
7
2
,f(1)=-3.
所以函数f(x)的单调增区间为(
1
2
,1),单调减区间为(0,
1
2
),值域为[-4,-3].…(6分)
(2)因为对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(
1
e
,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,
所以函数g(x)在区间(
1
e
,e3)上不是单调函数.…(8分)
g(x)=1-
a
x
=
x-a
x
,x∈(
1
e
,e3).
因为g(x)在区间(
1
e
,e3)上不是单调函数,所以
1
e
<x≤a,①且易知g(x)在区间(
1
e
,a)上是减函数,在区间(a,e3)上是增函数.…(10分)
1
e
<x≤a时,g(a)≤g(x)<
1
e
-4+a;当a≤x<e<3<时,g(a)≤g(x)<e3-4-3a.
根据题意,得g(a)<-4,②
1
e
-4+a>-3,③e3-4-3a>-3.④…(14分)
解由①②③④组成的不等式组,得e<x<
e3-1
3

所以a的取值范围为(e,
e3-1
3
)…(16分)