已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设函数g(x)=x-4-alnx,x∈(1e,e3),a∈R,若对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(1e,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(
已知函数f(x)=,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设函数g(x)=x-4-alnx,x∈(,e3),a∈R,若对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,求a的取值范围.
答案和解析
(1)f′(x)=
,x∈[0,1].…(2分)
解f′(x)>0,得<x<1,
解f′(x)<0,得0<x<,
所以函数f(x)在(,1)上是增函数,在(0,)上是减函数.…(4分)
f()=-4,f(0)=-,f(1)=-3.
所以函数f(x)的单调增区间为(,1),单调减区间为(0,),值域为[-4,-3].…(6分)
(2)因为对于任意x0∈[0,1],总存在x1,x2∈(,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,
所以函数g(x)在区间(,e3)上不是单调函数.…(8分)
g(x)=1-=,x∈(,e3).
因为g(x)在区间(,e3)上不是单调函数,所以<x≤a,①且易知g(x)在区间(,a)上是减函数,在区间(a,e3)上是增函数.…(10分)
当<x≤a时,g(a)≤g(x)<-4+a;当a≤x<e<3<时,g(a)≤g(x)<e3-4-3a.
根据题意,得g(a)<-4,②-4+a>-3,③e3-4-3a>-3.④…(14分)
解由①②③④组成的不等式组,得e<x<.
所以a的取值范围为(e,)…(16分)
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