（2014•泸州三模）已知函数f（x）=ex−12x2+mx，x∈(−∞，0]lnx，x∈(0，+∞)，g（x）=12ax2+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=1ex+n，求m，n的值

Question

（2014•泸州三模）已知函数f（x）=

ex−(1)/(2)x2+mx，x∈(−∞，0]

lnx，x∈(0，+∞)

，g（x）=(1)/(2)ax²+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=(1)/(e)x+n，求m，n的值；
（Ⅱ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：易知对任意n∈N*，an＞0，bn＞0．由a≠b，可知a+b2＞ab，即a1＞b1．同理，a1+b12＞a1b1，即a2＞b2．可知对任意n∈N*，an＞bn．an+1−an＝an+bn2−an＝bn−an2＜0，所以数列{an}是递减数列．bn+1−bn＝an...