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设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0;(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值.(注:e为自然对数的底数)
题目详情
设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0;
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值.
(注:e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值.
(注:e为自然对数的底数)
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,
所以f′(x)=
-2x+a=-
.
当a>0时,由f′(x)>0,得0<x<a,∴f(x)的增区间为(0,a);
当a<0时,由f′(x)>0,得0<x<−
,∴f(x)的增区间为(0,-
);
(Ⅱ)由 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.①
由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只要f(e)≤e2,则 a2lne-e2+ae≤e2,
∴a2+ae-2e2≤0,
∴(a+2e)(a-e)≤0,∴a≤e,②
综①②得a=e
所以f′(x)=
a2 |
x |
(x−a)(2x+a) |
x |
当a>0时,由f′(x)>0,得0<x<a,∴f(x)的增区间为(0,a);
当a<0时,由f′(x)>0,得0<x<−
a |
2 |
a |
2 |
(Ⅱ)由 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.①
由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只要f(e)≤e2,则 a2lne-e2+ae≤e2,
∴a2+ae-2e2≤0,
∴(a+2e)(a-e)≤0,∴a≤e,②
综①②得a=e
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