已知函数f(x)＝1(当x为有理数时)0(当x为无理数时)，给出下列关于f（x）的性质：①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x

Question

已知函数f(x)＝

1 ( 当x为有理数时)

0(当x为无理数时)

，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

当T=3，则当x为有有理数时，x+3也为有理数，则f（x+3）=f（x）；
则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）；
故T为函数的周期，即f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确；
若x为有理数，则-x也为有理数，则f（-x）=f（x）；
若x为无理数，则-x也为无理数，则f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函数，故②正确
存在有理数0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正确；
方程f[f（x）]=f（x）可等价变形为f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同，故④正确
故选D