解微分方程时积分常数的最后形式到底是什么?我在做一个很简单的可分离变量微分方程遇到了点问题:xy'-y*ln(y)=0分离变量,得dy/(y*lny)-dx/x=0积分,得ln(lny)-lnx=C1=>lny=x*e^(C1),令C2=e^

Question

解微分方程时积分常数的最后形式到底是什么?
我在做一个很简单的可分离变量微分方程遇到了点问题:xy' - y*ln(y) = 0分离变量,得 dy/(y*lny) - dx/x = 0 积分,得ln(lny) - lnx = C1 => lny = x * e^(C1) ,令 C2= e^(C1) => lny = x* C2 ==> y = e^(C2*x) 做到这一步时,我就想,能不能设 C = e^C2 ,使最终的通解成为 y = C^x y = e^(C*x),也就是说没有进一步对积分常数C2 进行第2次变换.所以我想问一下,积分常数到底能变换几次?教科书上显然没有针对这点进行详细的讨论.

Answer 1

xy'-y*ln(y)=0很显然y>0所以dy/(y*lny)-dx/x=0化成这个形式讨论一下：分母不能为零,所以x≠0,y*lny≠0；因为y>0,亦即x≠0,lny≠0但原方程里面没有这些限制；因此这里出现了不允许的情况应单独作为补充说明.亦dlny/(lny)-dx/x=0亦dln|lny|-dln|x|=dln|lny/x|=0积分一次ln|lny/x|=A,这里A为任意实数变形为|lny/x|=e^{A},即lny/x=±e^{A}=B在令上述B=±e^{A}中实际上限定了B≠0,这恰是lny≠0的体现；因此若将lny=0补充进来则lny/x=C,这里的C应该为任意实数注意在这里仍有x≠0,若再变形为lny=Cx这就把x=0也补充进来了,因为原方程只有一个限定条件y>0；所以解题过程中多余的约束应当适时解除若再变形y=e^{Cx}=e^{C}*e^{x}=D*e^{x}注意这里C取任意实数,正对应着D>0因此最后这个积分常数应当受到限制,这也恰是y>0的体现!