积分区间[0,派]被积函数为根号下1-sinx,请问为什么不能用换元法将sinx=u来做（这样做积分为0）和答案不符

Question

积分区间[0,派]被积函数为根号下1-sinx,请问为什么不能用换元法将sinx=u来做（这样做积分为0）和答案不符

Answer 1

你要注意sinx,对于反函数是在[-π/2,π/2]区间内,你若用sinx=u换元,必须分两个区间积分,[0,π/2],[π/2,π],
u=sinx,在[0,π/2]内,x=arcsinu,dx=du/√(1-u^2),x=0,u=0,x=π/2,u=1
在[π/2,π]区间内,x=π-arcsinu,dx=-du/√(1-u^2),x=π,u=0,(注意这里差了一个负号!)
原式=∫ [0,1]√(1-u)du/√(1-u^2)+∫ [1,0](-√(1-u)du/√(1-u^2)
=∫[0,1]du/√(1+u)-∫[1,0]du/√(1+u)
=∫[0,1]du/√(1+u)+∫[0,1]du/√(1+u)
=2∫[0,1]d(1+u)/√(1+u)
=2(1+u)^(-1/2+1)/(-1/2+1)[0,1]
=4√(1+u)[0,1]
=4√2-4.