已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=12BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．

Question

已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=(1)/(2)BC=2，AE=2，G是BC的中点．

（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：EG⊥平面BDF；
（3）求此多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

证明：（1）∵AD∥EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD∥BG，且AD=BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（2）连结GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，
∴DF⊥EG，
∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，
∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，
又BF∩DF=F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，
∴EG⊥平面BDF；                        
（3）V_ABCDEF=V_B-AEFD+V_D-BCF，作BH⊥EF于H，
∵平面AEFD⊥平面BEFC，
∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，
∴CF⊥平面BDF，
BH=√(3)，VB-AEFD=(1)/(3)×√(3)×2×2=(4√(3))/(3)，
VD-BCF=VC-BFD=(1)/(3)×2×(1)/(2)×2×2√(3)=(4√(3))/(3)，
∴VABCDEF=(8)/(3)√(3)．