用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+x3^2+2x1x3华为标准型

Question

用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+x3^2+2x1x3华为标准型

Answer 1

1 0 1
0 2 0
1 0 1
|A-λE|=-λ(2-λ)^2
A的特征值为 2,2,0
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)' --已正交
AX=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'.
单位化得:b1=(0,1,0)',b2=(1/√2,0,1/√2)',b3=(1/√2,0,-1/√2)'
令 P=(b1,b2,b3),则P为正交矩阵,X=PY 为正交变换
f = 2y1^2+2y2^2.