先阅读下列不等式的证法：已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤2．证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一

Question

先阅读下列不等式的证法：
已知a ₁ ，a ₂ ∈R，a ₁ ² +a ₂ ² =1，求证：|a ₁ + a 2 |≤

2

．
证明：构造函数f（x）=（x-a ₁ ） ² +（x-a ₂ ） ² ，则f（x）=2x ² -2（a ₁ +a ₂ ）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a ₁ +a ₂ ） ² -8≤0，故得|a ₁ + a 2 |≤

2

．
再解决下列问题：
（1）若a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ∈R，a ₁ ² +a ₂ ² +a ₃ ² =1，求证|a ₁ + a 2 + a 3 |≤

3

；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：构造函数f（x）=（x-a ₁ ） ² +（x-a ₂ ） ² +（x-a ₃ ） ² （2分）
则f（x）=3x ² -2（a ₁ +a ₂ +a ₃ ）x+a ₁ ² +a ₂ ² +a ₃ ² =3x ² -2（a ₁ +a ₂ +a ₃ ）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a ₁ +a ₂ +a ₃ ） ² -12≤0，
故得|a ₁ +a ₂ + a 3 |≤

3

．      （2分）
（2）推广：若a ₁ ，a ₂ ，…，a _n ∈R，a ₁ ² +a ₂ ² +…+a _n ² =1，则|a ₁ +a ₂ +…+ a n |≤

n

．   （2分）
证明：构造函数f（x）=（x-a ₁ ） ² +（x-a ₂ ） ² +…+（x-a _n ） ² ，
则f（x）=nx ² -2（a ₁ +a ₂ +…+a _n ）x+a ₁ ² +a ₂ ² +…+a _n ² =nx ² -2（a ₁ +a ₂ +…+a _n ）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a ₁ +a ₂ +…+a _n ） ² -4n≤0，
故得 | a 1 + a 2 +…+ a n |≤

n

．      （2分）