已知函数f（x）=2x2^2+ax+b/x^2+1的值域为[1.3],求a,b的值.此题中为什么化为方程之后讨论y＝2时得到ax＋b＝2一定要x＝0时确定ab值呢?

Question

已知函数f（x）=2x2^2+ax+b/x^2+1的值域为[1.3],求a,b的值.
此题中为什么化为方程之后讨论y＝2时得到ax＋b＝2一定要x＝0时确定ab值呢?

Answer 1

f(x) = (2x²+ax+b)/(x²+1) = y
yx²+y = 2x²+ax+b
(y-2)x²-ax+(y-b) = 0
y≠2时：
判别式△=(-a)²-4(y-2)(y-b) = a² - 4y² + 4(b+2)y -8b ≥ 0
y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0
f(x) = (2x²+ax+b)/(x²+1) = y的值域为 [1,3]
即：y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0的解集为 [1,3]
y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0等效于（y-1)(y-3)≤0,即y²-4y+3≤0
∴b+2=4,(8b-a²)/4 =3
b=2,
(8×2-a²)/4 =3
16-a²=12
a²=4
a=-2,或2
y=2时,(y-2)x²-ax+(y-b) = 0化为ax+b=2,±2x+2=2,x=0满足要求