如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D，E分别为BB1、AC1的中点．（Ⅰ）DE⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设AA1=AB，P是BB1上一动点，试求AP+PC1的最小值．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D，E分别为BB₁、AC₁的中点．
（Ⅰ）DE⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）设AA₁=AB，P是BB₁上一动点，试求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

（I）取AC的中点F，可得DE∥FB．由题意得BF⊥AC．由于ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，所以BF⊥CC₁，进而可得BF⊥面AC C₁A₁，从而可证明DE⊥面AC C₁A₁．
（II）将平面AB B₁A₁延B B₁展开，使之与面BC C₁B₁共面，连接AC₁则：AP+PC₁的最小值为AC₁．
证明：（I）取AC的中点F，易证DEFB为矩形，所以DE∥FB．
因为AB=BC且F为中点，
所以BF⊥AC．
因为ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
所以CC₁⊥面ABC，所以BF⊥CC₁
又因为AC∩CC₁=C，
所以BF⊥面AC C₁A₁，
所以DE⊥面AC C₁A₁．
（II）将平面AB B₁A₁延B B₁展开，使之与面BC C₁B₁共面，
如图所示，则：AP+PC₁的最小值为AC₁的长．