如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1

Question

如图，直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，AC=BC，AA ₁ =AB，D为BB ₁ 的中点，E为AB ₁ 上的一点，AE=3EB ₁ ．
(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB ₁ 与CD的公垂线；
(Ⅱ)设异面直线AB ₁ 与CD的夹角为45°，求二面角A ₁ -AC ₁ -B ₁ 的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：连结A 1 B，记A 1 B与AB 1 的交点为F， 因为面AA 1 B 1 B为正方形， 故A 1 B⊥AB 1 ，且AF=FB 1 ， 又AE=3EB 1 ，所以FE=EB 1 ， 又D为BB 1 的中点，故DE∥BF，DE⊥AB 1 ，  作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点， 又由底面ABC⊥面AA 1 B 1 B，得CG⊥面AA 1 B 1 B， 连结DG，则DG∥AB 1 ，故DE⊥DG， 由三垂线定理，得DE⊥CD， 所以DE为异面直线AB 1 与CD的公垂线．  (Ⅱ)因为DG∥AB 1 ，故∠CDG为异面直线AB 1 与CD的夹角， ∠CDG=45°， 设AB=2，则AB 1 =2 ，DG= ，CG= ，AC= ， 作B 1 H⊥A 1 C 1 ，H为垂足， 因为底面A 1 B 1 C 1 ⊥面AA 1 C 1 C， 故 B 1 H⊥面AA 1 C 1 C， 又作HK⊥AC 1 ，K为垂足，连结B 1 K， 由三垂线定理，得B 1 K⊥AC 1 ， 因此∠B 1 KH为二面角A 1 -AC 1 -B 1 的平面角， ， ， ， ， 所以，二面角A 1 -AC 1 -B 1 的大小为arctan 。