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设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证|AB|=；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线
题目详情
| 设椭圆 M ：  ( a ＞ b ＞0)的离心率为 ，长轴长为 ，设过右焦点 F 倾斜角为 的直线交椭圆 M 于 A ， B 两点。（Ⅰ）求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）求证| AB | =  ；（Ⅲ）设过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C ， D ，求| AB | + | CD |的最小值。 |
▼优质解答
答案和解析
| （Ⅰ）  ；（Ⅱ）略；（Ⅲ） 。 |
| （Ⅰ）    所求椭圆 M 的方程为 …4分（Ⅱ）当  ≠ ，设直线 AB 的斜率为 k = tan ，焦点 F ( 3 , 0 )，则直线 AB 的方程为y = k ( x – 3 ) 有  ( 1 + 2 k 2 ) x 2 – 12 k 2 x + 18( k 2 – 1 ) =" 0" 设点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 有 x 1 + x 2 =  , x 1 x 2 = | AB | =  ** … 6分又因为 k = tan = 代入**式得| AB | =  ………… 8分当 = 时，直线 AB 的方程为 x = 3，此时| AB | = ……………… 10分而当 = 时，| AB | = = 综上所述：所以| AB | = ……………… 11分（Ⅲ）过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C ， D ， 同理可得 | CD | =  = ……………………… 12分有| AB | + | CD | = + = 因为sin2 ∈[0，1]，所以 当且仅当sin2 =1时，| AB |+| CD |有最小值是 …… 16分 |
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