设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证|AB|=；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线

Question

设椭圆 M ： ( a ＞ b ＞0)的离心率为 ，长轴长为 ，设过右焦点 F 倾斜角为 的直线交椭圆 M 于 A ， B 两点。
（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
（Ⅱ）求证| AB | = ；
（Ⅲ）设过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C ， D ，求| AB | + | CD |的最小值。

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）略；（Ⅲ） 。

（Ⅰ） 所求椭圆 M 的方程为 …4分
（Ⅱ）当 ≠ ，设直线 AB 的斜率为 k = tan ，焦点 F ( 3 , 0 )，则直线 AB 的方程为
y = k ( x – 3 )              有 ( 1 + 2 k ² ) x ² – 12 k ² x + 18( k ² – 1 ) =" 0"
设点 A ( x ₁ , y ₁ ) , B ( x ₂ , y ₂ )             有 x ₁ + x ₂ = , x ₁ x ₂ =
| AB | =  ** … 6分
又因为  k = tan =              代入**式得
| AB | =  ………… 8分
当 = 时，直线 AB 的方程为 x = 3，此时| AB | = ……………… 10分
而当 = 时，| AB | = =
综上所述：所以| AB | = ……………… 11分
（Ⅲ）过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C ， D ，
同理可得         | CD | = =  ……………………… 12分
有| AB | + | CD | = + =
因为sin2 ∈[0，1]，所以  当且仅当sin2 =1时，| AB |+| CD |有最小值是  …… 16分