双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线E的渐近线上的一点，MF1⊥MF2，sin∠MF1F2=13，则该双曲线

Question

双曲线E： (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M是双曲线E的渐近线上的一点，MF₁⊥MF₂，sin∠MF₁F₂= (1)/(3)，则该双曲线的离心率为___．

Answer 1

由题意，设M是渐近线y=(b)/(a)x上的一点，∠MOF₂=2∠MF₁F₂，
∵sin∠MF₁F₂=(1)/(3)，∴tan∠MF₁F₂=(1)/(2√(2))，∴tan∠MOF₂=((1)/(√(2)))/(1-(1)/(8))=(4√(2))/(7)，
∴(b)/(a)=(4√(2))/(7)，∴e=(c)/(a)=√(1+(32)/(49))=(9)/(7)，
故答案为(9)/(7)．