设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.3x±4y=0

Question

设F₁、F₂分别为双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A. 3x±4y=0
B. 3x±5y=0
C. 4x±3y=0
D. 5x±4y=0

Answer 1

依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，由勾股定理知
可知|PF₁|=2√(4c2−4a2)=4b
根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得(b)/(a)=(4)/(3)
∴双曲线渐近线方程为y=±(4)/(3)x，即4x±3y=0
故选C