已知双曲线2x2-y2=2上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在直线y=2x+4上，则实数m的值为．

Question

已知双曲线2x²-y²=2上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在直线y=2x+4上，则实数m的值为___．

Answer 1

∵MN关于y=x+m对称，∴MN的垂直平分线y=x+m，故MN的斜率-1．
MN中点P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上，
设直线MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m．
由y=-x+b与双曲线2x²-y²=2，消元可得：2x²+2bx-b²-2=0，
∴x_M+x_N=2x₀=-b，∴x₀=-(b)/(2)，∴b=(m)/(2)，∴MN中点P（-(m)/(4)，(3)/(4)m）．
∵MN的中点在直线y=2x+4上，∴(3)/(4)m=-(m)/(2)+4，求得m=(16)/(5)，
故答案为：(16)/(5)．