已知椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)离心率√3/2,过右焦点F,且斜率为K的直线与椭圆交于AB,且向量AF=3向量FB,则k=多少

Question

已知椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)离心率√3/2,过右焦点F,且斜率为K
的直线与椭圆交于AB,且向量AF=3向量FB,则k=多少

Answer 1

∵e=√3/2,设椭圆方程为x²/a²+4y²/a²=1.①
设直线方程为y=k(x-c).②
联立①、②得：(1+4k²)x²-8k²cx+4k²c²-a²=0.③
根据椭圆第二定义
|AF|/(a²/c-xA)=e,|BF|/(a²/c-xB)=e
|AF|=3|BF|,得3xB-xA=2a²/c.④
又由定比分点公式得4c=xA+3xB.⑤
由④、⑤解得xA=2c-a²/c xB=2c/3+a²/3c
∴xA+xB=8c/3-2a²/3c.⑥
又由③可得xA+xB=8k²c/(1+4k²).⑦
得到k关于e的一元二次方程：（8e²-2)(1+4k²)=24k²e²
e²=3/4,解得k=±√2
又k＞0,∴k=√2
施主,
我看你骨骼清奇,
器宇轩昂,且有慧根,
乃是万中无一的武林奇才.
潜心修习,将来必成大器,
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分开答多点采纳,多谢