如图椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与过A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2求:(1)如图椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与过A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2求:(

Question

如图椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与过A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2 求:(1)
如图椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与过A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2 求:(1)求椭圆的方程(2)设F1,F2分别为椭圆的左右焦点,求证|AT|2=1/2|AF1|·|AF2|
图见

Answer 1

1、方程为：x/2+y/1=1,y=-x/2+1,(1)
e=c/a=√3/2,
c=√3a/2,
b^2=a^2-c^2=a^2/4
x^2/a^2+4y^2/a^2=1,(2)
把（1）代入（2）式,
x^2/a^2+4(-x/2+1)^2/a^2=1,
2x^2-4x+4-a^2=0,
因直线和椭圆只有一个公共点.则一元二次方程判别式△=0,
16-4*2*（4-a^2)=0,
a^2=2,
b^2=a^2/4=1/2,
∴椭圆方程为：x^2/2+2y^2=1.
2、将直线方程代入椭圆方程,解出T坐标,
x^2/2+2(-x/2+1)^2=1,
x^2-2x+1=0,
x=1,y=1/2,
T(1,1/2),
AT^2=(2-1)^2+(0-1/2)^2=5/4,
a=√2,
c=a√3/2=√6/2,
|F2A|=2-√6/2,
||F1A|=2*（√6/2）+2-√6/2=2+√6/2,
|F2A|*|F1A|=（2-√6/2）*（2+√6/2）=4-3/2=5/2,
∴AT^2=(1/2)|F2A|*|F1A|.