在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-√3y+2=0相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上,是否存在点M（m,n）,使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同

Question

在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上 、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-
√ 3
y+2=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上,是否存在点M（m,n）,使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在,请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心是（x0,0）（x0＞0）,由直线x−√3
y+2＝0于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求x0,进而可求圆C的方程
（2）把点M（m,n）代入圆的方程可得,m,n的方程,结合原点到直线l：mx+ny=1的距离h＜1可求m的范围,根据弦长公式求出AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值
解（1）设圆心是（x0,0）（x0＞0）,
即它到直线x−√3 y+2＝0的距离是d＝|x0+2| /√（ 1+3） ＝2,
解得x0=2或x0=-6（舍去
∴所求圆C的方程是（x-2）²+y²=4
（2）∵点M（m,n）在圆C上
∴（m-2）²+n²=4,n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4
又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离h＝1 / √（m²+n²）＝1 /√（4m） ＜1
解得0.25 ＜m≤4
而|AB|＝2√﹙1−h²﹚
∴S△OAB＝12 |AB|•h＝√[−(1/4m −1/ 2）²+0.25 ]
∴当1/4m=0.5,即m＝0.5时取得最大值1/2
此时点M的坐标是(0.5 ,√7/2)与(0.5,−√7/ 2 ),面积的最大值是1/2