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在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-√3y+2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同
题目详情
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上 、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-
√ 3
y+2=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
√ 3
y+2=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
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答案和解析
分析:(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),由直线x−√3
y+2=0于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求x0,进而可求圆C的方程
(2)把点M(m,n)代入圆的方程可得,m,n的方程,结合原点到直线l:mx+ny=1的距离h<1可求m的范围,根据弦长公式求出AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值
解(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),
即它到直线x−√3 y+2=0的距离是d=|x0+2| /√( 1+3) =2,
解得x0=2或x0=-6(舍去
∴所求圆C的方程是(x-2)²+y²=4
(2)∵点M(m,n)在圆C上
∴(m-2)²+n²=4,n²=4-(m-2)²=4m-m²且0≤m≤4
又∵原点到直线l:mx+ny=1的距离h=1 / √(m²+n²)=1 /√(4m) <1
解得0.25 <m≤4
而|AB|=2√﹙1−h²﹚
∴S△OAB=12 |AB|•h=√[−(1/4m −1/ 2)²+0.25 ]
∴当1/4m=0.5,即m=0.5时取得最大值1/2
此时点M的坐标是(0.5 ,√7/2)与(0.5,−√7/ 2 ),面积的最大值是1/2
y+2=0于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求x0,进而可求圆C的方程
(2)把点M(m,n)代入圆的方程可得,m,n的方程,结合原点到直线l:mx+ny=1的距离h<1可求m的范围,根据弦长公式求出AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值
解(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),
即它到直线x−√3 y+2=0的距离是d=|x0+2| /√( 1+3) =2,
解得x0=2或x0=-6(舍去
∴所求圆C的方程是(x-2)²+y²=4
(2)∵点M(m,n)在圆C上
∴(m-2)²+n²=4,n²=4-(m-2)²=4m-m²且0≤m≤4
又∵原点到直线l:mx+ny=1的距离h=1 / √(m²+n²)=1 /√(4m) <1
解得0.25 <m≤4
而|AB|=2√﹙1−h²﹚
∴S△OAB=12 |AB|•h=√[−(1/4m −1/ 2)²+0.25 ]
∴当1/4m=0.5,即m=0.5时取得最大值1/2
此时点M的坐标是(0.5 ,√7/2)与(0.5,−√7/ 2 ),面积的最大值是1/2
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