已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于23，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的

Question

已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方

（1）求圆C的方程；
（2）设过点P（1，1）的直线l₁被圆C截得的弦长等于2√(3)，求直线l₁的方程；
（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设圆心C（a，0）（a>-(5)/(2)），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即(|4a+10|)/(5)=2，
解得：a=0或a=-5（舍去），
则圆C方程为x²+y²=4；
（2）由题意可知圆心C到直线l₁的距离为√(22-(√(3))2)=1，
若直线l₁斜率不存在，则直线l₁：x=1，圆心C到直线l₁的距离为1；
若直线l₁斜率存在，设直线l₁：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
则有(|1-k|)/(√(k2+1))=1，即k=0，此时直线l₁：y=1，
综上直线l₁的方程为x=1或y=1；
（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，即(y1)/(x1-t)+(y2)/(x2-t)=0，(k(x1-1))/(x1-t)+(k(x2-1))/(x2-t)=0，
整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，即(2(k2-4))/(k2+1)-(2k2(t+1))/(k2+1)+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．