如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交点于C点,顶点为D点E（1,2）为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于点F、G.若点K在x轴的上方的抛物线上运动,当K运动

Question

如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交点于C点,顶点为D
点E（1,2）为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于点F、G.
若点K在x轴的上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,三角形EFK的面积最大,并求出最大面积?

Answer 1

（1）由题意,得 解得,b =－1．
所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为（－1,）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．
由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,
得 CE :CO = CG :CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5．G（0,1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H（,）．
（3）设K（t,）,xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =－（t +）=．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．
即当t =－时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K（－,）．