已知A1A2为圆X*X+y*y=1与X轴的两个交点,p1p2为垂直于X轴的弦,且A1p1与A2p2的交点为M求：动点M的轨迹方程记动点M的轨迹方程为曲线E,若过点A（0,1）的直线L与曲线E交于y轴右边不同两点B,C,且向量AC=

Question

已知A1 A2为圆X*X+y*y=1与X轴的两个交点,p1p2为垂直于X轴的弦,且A1p1与A2p2的交点为M
求：动点M的轨迹方程
记动点M的轨迹方程为曲线E,若过点A（0,1）的直线L与曲线E交于y轴右边不同两点B,C,且向量AC=2向量AB.求直线l的方程

Answer 1

1、设P1的坐标为（X1,Y1),则P2的坐标为（X1,-Y1),由已知得A1,A2的坐标分别为（-1,0）、（1,0）.
A1P1的直线方程L1:(Y-0)/(X+1)=(Y1-0)/(X1+1)
A2P2的直线方程L2:(Y-0)/(X-1)=(-Y1-0)/(X1-1)
联立L1、L2方程求解得 X=1/X1,Y=Y1/X1. 即M点坐标为（1/X1,Y1/X1）,亦即X1=1/X,Y1=Y/X.
又P1（X1,Y1)为圆X*X+Y*Y=1上的点,即X1*X1+Y1*Y1=1,将X1=1/X,Y1=Y/X代入 （1/X）*（1/X）+(Y/X)*(Y/X)=1
故X*X-Y*Y=1.
X1的取值范围在（-1,1）,Y1的取值范围也在（0,1）.又X=1/X1,Y=Y1/X1,则X不取-1,1,Y不取0且满足上述方程的一切值.
2、设B(XB,YB),C(XC,YC).若过A（0,1）的直线L斜率不存在,则与曲线E无交点,故可设直线L:Y=KX+1,联立方程X*X-Y*Y=1 消去Y可得
（1-K*K)(X*X)-2KX-2=0 1-K*K不等于0 K*K不等于1
判别式=(-2K)*(-2K)+8*（1-K*K)>0 K*K