（2014•宁波二模）如图所示，已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率

Question

（2014•宁波二模）如图所示，已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若

AF

=2

FB

，则该双曲线的离心率为（　　）

A．(3√(2))/(4)
B．(2√(3))/(3)
C．(√(30))/(5)
D．(√(5))/(2)

Answer 1

双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±(b)/(a)x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴k_OA=((2b)/(a))/(1−(b2)/(a2))=(2ab)/(a2−b2)，
∴直线l的方程为y=(2ab)/(a2−b2)（x-c），
与y=±(b)/(a)x联立，可得y=-(2abc)/(3a2−b2)或y=(2abc)/(a2+b2)，
∵

AF

=2

FB

，
∴(2abc)/(a2+b2)=2•（(2abc)/(3a2−b2)），
∴a=√(3)b，
∴c=2b，
∴e=(c)/(a)=(2√(3))/(3)．
故选：B．