已知函数f（x）=ax+x-2x+1（a＞1）（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Question

已知函数f（x）=a ^x + (x-2)/(x+1) （a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=a ^x + (x-2)/(x+1) （a＞1）=a ^x +1- (3)/(x+1) ，
而函数 y=a ^x （a＞1）和函数y=- (3)/(x+1)  在（-1，+∞）上都为增函数，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x ₀ ，且x ₀ ＜0，则有f（x ₀ ）=0，故有 a x 0 +1= (3)/(x0 +1)  ①．
由于函数y=a ^x +1在R上式增函数，且a ⁰ +1=2，∴ a x 0 +1＜2．
由于函数y= (3)/(x+1)  在（-1，+∞）上是减函数，当x ₀ ∈（-1，0）时， (3)/(0+1) =3，∴ (3)/(x0 +1) ＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y= (3)/(x+1) 在（-∞，-1）上是增函数，当x ₀ ∈（-∞，-1）时， (3)/(x0 +1) ＜0，
而， a x 0 +1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．