已知圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0与直线l：x+2y-4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，-3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2

Question

已知圆 C 1 ： x 2 + y 2 -2x-4y+4=0 与直线l：x+2y-4=0相交于A，B两点．
（Ⅰ）求弦AB的长；
（Ⅱ）若圆C ₂ 经过E（1，-3），F（0，4），且圆C ₂ 与圆C ₁ 的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C ₂ 的方程．

Answer 1

（Ⅰ）圆心到直线l的距离  d=(5)/(5) ，（2分）
所以 |AB|=2

1-(1)/(5)

=(45)/(5) ．                    　（4分）
（II）设圆C ₂ 的方程为x ² +y ² +Dx+Ey+F=0，
∵圆 C 1 ： x 2 + y 2 -2x-4y+4=0
∴两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，
∵圆C ₂ 与圆C ₁ 的公共弦平行于直线2x+y+1=0，
∴ (D+2)/(2) =(E+4)/(1) ，即D=2E+6．                        （6分）
又因为圆C ₂ 经过E（1，-3），F（0，4），
所以

1+9+D-3E+F=0

16+4E+F=0

D=2E+6

⇒

D=6

E=0

F=-16.

所以圆C ₂ 的方程为x ² +y ² +6x-16=0．（8分）