已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=6．（1）求m，n的值；（2）当x∈[0，4]时，关于x的方程f（x）-a•2x=0有解，求a的取值范围．

Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2^|x-m|+n，且f（2）=6．
（1）求m，n的值；
（2）当x∈[0，4]时，关于x的方程f（x）-a•2^x=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知f（0）=f（4），
可得2^|m|+n=2^|4-m|+n，
∴|m|=|4-m|，
∴m=2
又由f（2）=6可知2^|2-2|+n=6，
∴n=5
（2）方程即为2^|x-2|+5=a×2^x在[0，4]有解．
当x∈[0，2]时，2^2-x+5=a•2^x，
则a=(4)/((2x)2)+(5)/(2x)，
令((1)/(2))x＝t∈[(1)/(4)，1]
则a=4t²+5t在[(1)/(4)，1]单增，
∴a∈[(3)/(2)，9]，
当x∈（2，4]时，2^2-x+5=a•2^x，
则a=(1)/(4)+(5)/(2x)，
令((1)/(2))x＝t∈[(1)/(16)，(1)/(4))
则a=(1)/(4)+5t，
∴a∈[(9)/(16)，(3)/(2))
综上：a∈[(9)/(16)，9]．