如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2的延长线相交于点C，延长AP交⊙O2于点D，点E在AD延长线上．（1）求证：△ABP是直角三角形；（2）若AB•AC=AP•AE，

Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂ 的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD延长线上．
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若AB•AC=AP•AE，试判断AC与EC能否一定垂直？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AP=4，PD=(9)/(4)，求(EC)/(AC)的值．

Answer 1

（1）证明：过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得：
NP=NA=NB，∴△PAB为直角三角形． …（3分）
（2）AC⊥EC．
理由如下：
∵AB•AC=AP•AE，
∴(AB)/(AP)=(AE)/(AC)，又∠PAB=∠EAC，
∴△PAB∽△CAE，
∴∠ECA=∠APB=90°，
即AC⊥EC．…（6分）
（3）由切割线定理，AB²=AP•AD，
∴AB=5，PB=3，PB：PA=3：4=EC：AC，
∴(EC)/(AC)＝(3)/(4)．…（9分）