如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点M为△ABC的内心．（1）求证：BC=2DM；（2）若DM=52，AB=8，求OM的长．

Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点M为△ABC的内心．

（1）求证：BC=√(2)DM；
（2）若DM=5√(2)，AB=8，求OM的长．

Answer 1

（1）证明：连结MC、DC、BD，如图，
∵点M为△ABC的内心，
∴MC平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=(1)/(2)∠BAC=45°，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=√(2)DC，
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM，
而∠DCM=∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DC=DM，
∴BC=√(2)DM；
（2）作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，如图，
∵DM=5√(2)，
∴BC=√(2)DM=10，
而AB=8，
∴AC=√(BC2-AB2)=6，
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点M为△ABC的内心，
∴MH=ME=MF=r，
∴四边形AHME为正方形，
∴AH=AE=r，则CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，
而BF+FC=BC，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴MF=2，CF=6-2=4，
∵OC=5，
∴OF=5-4=1，
在Rt△OMF中，OM=√(MF2+OF2)=√(5)．