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⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）
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⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）▼优质解答
答案和解析
证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得
=
，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．
证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得
 |
| OC |
|
| OK |
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．
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