⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）

Question

⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）

Answer 1

证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得

OC

=

OK

，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．