两道关于圆的题,1.已知AB和CD是圆的两条平行切线,AC是切点,圆的另一条切线与ABCD分别交与BD两点,求证BO垂直OD2.已知RT三角形ABC的内切圆切斜边BC于点D求证S△ABC=BD×DC

Question

两道关于圆的题,
1.已知AB和CD是圆的两条平行切线,A C是切点,圆的另一条切线与AB CD分别交与B D两点,求证BO垂直OD
2.已知RT三角形ABC的内切圆切斜边BC于点D
求证 S△ABC=BD×DC

Answer 1

1.
证明：设BD切圆O于M点,连结AM、CM、AC.
∵∠BMO=∠BAO=90°
∴B、M、A、O四点共圆.
∴∠OBM=∠OAM.
同理:∠ODM=∠OCM
∴∠OBM+∠ODM=∠OAM+∠OCM=90°.
那么∠BOD=90°
故BO⊥OD.
2.
证明：
设BD=a,CD=b.内切圆半径为r.有：
注意到AB=a+r,AC=b+r.于是:
(a+r)^+(b+r)^=(a+b)^.化简,得：
ar+br+r^=ab
S△ABC=AB*AC/2=(a+r)*(b+r)/2=[ab+(ar+r+r^)]/2=ab
即：S△ABC=BD×DC.