若a,b,c属于a+b+c=1,求证：（1）1/a+1/b+1/c大于等于9（2）1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)大于等于27（3）a^2+b^2+c^2大于等于1/3谁还知道3、4题怎么写？

Answer 1

我觉得还要加个条件a>0,b>0,c>0,
公式:
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3) (1)
等号当且仅当a=b=c时成立
a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc (2)
当且仅当a=b=c时等号成立
第一题 有人答过了,故不答
第二题
由公式(1) 将a+b+c=1代入有：
abc≤(1/3)^3=1/27
再由(2) 知：
1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)≥1/(ab)+1/(bc)+1/(ac)
=(a+b+c)/(abc) 将a+b+c=1代入
=1/(abc)≥27
不难看出等号在a=b=c=1/3 时成立
第三题
由公式(2)
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac=1/2*(2ab+2ac+2bc)
=1/2*[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]=1/2[a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)]
=1/2*[1-(a^2+b^2+c^2)] 移项
3/2*(a^2+b^2+c^2)≥1/2
即：a^2+b^2+c^2≥1/3
不难看出当a=b=c=1/3时等号成立