如图，已知点，且的内切圆方程为.（1）求经过三点的椭圆标准方程；（2）过椭圆上的点作圆的切线，求切线长最短时的点的坐标和切线长。

Question

如图，已知点 ，且 的内切圆方程为 .
（1）  求经过 三点的椭圆标准方程；
（2）  过椭圆上的点 作圆的切线，求切线长最短时的点 的坐标和切线长。

Answer 1

如图，已知点 ，且 的内切圆方程为 .
（1）  求经过 三点的椭圆标准方程；
（2）  过椭圆上的点 作圆的切线，求切线长最短时的点 的坐标和切线长。

,

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为 ，------------------1分
依题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB：y=k（x+4）         ------------------2分
因圆 的圆心为（2，0），半径 ，又因为直线AB与圆相切
所以，圆心为（2，0）到直线AB的距离为 ------------------3分
解得 （ 为直线AC的斜率）
所以直线AB的方程为 ，------------------4分
又因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，所以B点横坐标为 ，
把 代入直线AB的方程解得 ， ------------------5分
把A(-4,0)， 代入椭圆方程得 ，解得m=16， n=1----------6分
所以椭圆的标准方程为 .------------------ 7分
(Ⅱ)设点M ，则圆心（2，0）与点M的距离为  -8分
切线长 ， ，--10分
当 时， ，                ------------------12分
此时 ，从而点 的坐标为           ------------------14分
解法二：(Ⅰ)因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，且 的内切圆方程为 ，
所以B点横坐标为 ，-----------------1分
如图，由三角形内切圆的性质知 ∽
∴ 即 ，从而 ------------------3分
当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆方程为 ，则将A(-4,0)， 代入椭圆方程得 ，解得

作业帮用户 2017-11-05

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