如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：

Question

如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，
∴MN²=PN²=NA•NB，
∴(PN)/(NB)=(NA)/(PN)，
又∵∠PNA=∠BNP，
∴△PNA∽△BNP，
∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．
∵MC=BC，
∴∠MAC=∠BAC，
∴∠MAP=∠PAB，
∴△APM∽△ABP…（5分）
（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，
∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，
∴PM∥CD．
∵△APM∽△ABP，
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圆O的切线，
∴∠PMA=∠MCP，
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，
∴MC∥PD，
∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）