已知M为圆内弦PQ的中点，过点M作弦AB和CD，连结AD与BC，分别交PQ与点X和Y，并连结AC与BD，有以下四个结论：①DM•MC=AM•BM；②MX=MY；③若M为该圆圆心，则四边形ACBD为菱形；④若M为该圆直径GH

Question

已知M为圆内弦PQ的中点，过点M作弦AB和CD，连结AD与BC，分别交PQ与点X和Y，并连结AC与BD，有以下四个结论：
①DM•MC=AM•BM；
②MX=MY；
③若M为该圆圆心，则四边形ACBD为菱形；
④若M为该圆直径GH上一点（不与G、H重合）延长PQ于点E，连结GE交圆于点F，则GM•GH=MQ•ME；
请问正确的结论为______．

Answer 1

（1）若点M是圆的圆心，则有MA=MB=MC=MD．如图1．
①∵MA=MB=MC=MD，∴DM•MC=AM•BM，故①正确．
②∵MA=MB=MC=MD，∴四边形ACBD是平行四边形．
∴AD∥BC．∴∠ADM=∠BCD．
在△XDM和△YCM中，

∠XDM＝∠YCM

MD＝MC

∠DMX＝∠CMY

．
∴△XDM≌△YCM（ASA）．
∴MX=MY．故②正确．
③当AB与CD不垂直时，四边形ACBD不是菱形，故③错误．
④∵点M为圆心，∴MG=MQ．
当GH≠ME时，GM•GH≠MQ•ME，故④错误．
（2）若点M不是圆的圆心，如图2．
①∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAB=∠BCD，∠ADM=∠CBM．
∴△ADM∽△CBM，
∴(DM)/(BM)＝(AM)/(CM)．
即DM•CM=AM•BM，故①正确．
②过点O作OJ⊥AD于J，作OK⊥BC于K，连接OX，OY，JM，KM，OM．
则根据垂径定理可得AJ=DJ=(1)/(2)AD，CK=BK=(1)/(2)BC．
∵△ADM∽△CBM，
∴(AD)/(BC)＝(2AJ)/(2CK)＝(AM)/(CM)；
∴(AJ)/(CK)＝(AM)/(CM)，
又∵∠JAM=∠KCM，
∴△AJM∽△CKM，
∴∠AJM=∠CKM．
∵M是PQ的中点，
∴根据垂径定理的推论得：OM⊥PQ，
∴∠OJX=∠OMX=∠OMY=∠OKY=90°．
∴O、M、X、J四点共圆，O、M、Y、K四点共圆．
∴∠AJM=∠XOM，∠CKM=∠YOM．
∴∠XOM=∠YOM．
在△OXM和△OYM中，

∠XOM＝∠YOM

OM＝OM

∠OMX＝∠OMY＝90°

，
∴△OXM≌△OYM（ASA）．
∴MX=MY，故②正确．
综上所述：①②一定正确，③④不一定正确．
故答案为：①②．