已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（π3，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=5π6B．x=4π3C．x=π3D．x=-π3

Question

已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（(π)/(3)，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin²x的图象的一条对称轴是直线（　　）

A．x=(5π)/(6)
B．x=(4π)/(3)
C．x=(π)/(3)
D．x=-(π)/(3)

Answer 1

∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（(π)/(3)，0），
∴f（(π)/(3)）=sin(π)/(3)+λcos(π)/(3)=(√(3))/(2)+(1)/(2)λ=0，解得λ=-√(3)，
∴g（x）=-√(3)sinxcosx+sin²x
=−(√(3))/(2)sin2x+(1−cos2x)/(2)
=(1)/(2)-sin（2x+(π)/(6)），
令2x+(π)/(6)=kπ+(π)/(2)可得x=(kπ)/(2)+(π)/(6)，k∈Z，
∴函数的对称轴为x=(kπ)/(2)+(π)/(6)，k∈Z，
结合四个选项可知，当k=-1时x=-(π)/(3)符合题意，
故选：D