数学的椭圆中的问题!已知椭圆I的中心在原点,焦点在X轴上,它的一个顶点B恰好在抛物线X^2=4Y的焦点,离心率为根号二/2,直线L与椭圆I交于M,N两点,问：椭圆的右焦点是否可以为△BMN的垂心?若可

Question

数学的椭圆中的问题!
已知椭圆I的中心在原点,焦点在X轴上,它的一个顶点B恰好在抛物线X^2=4Y的焦点,离心率为根号二/2,直线L与椭圆I交于M,N两点,问：椭圆的右焦点是否可以为△BMN的垂心?若可以,求出直线L的方程.

Answer 1

抛物线X^2=4Y的焦点(0,1)
即b=1
e=√2/2
c^2/a^2=1/2
a^2=b^2+c^2
a^2=2
右焦点F2
则BM⊥直线L,BM的斜率=-1
直线L的斜率=1
设椭圆右焦点为F,直线L的方程为
y=x+m与椭圆交于M(x1,y1),N(x2,y2)
3x²+4mx+2m²-2=0
x1+x2=-4m/3,x1x2=(2m²-2)/3
BN斜率 ×MF斜率(y2-1)y1/x2(x1-1)=-1
(y2-1)y1+x2(x1-1)=0
y1y2+x1x2-y1-x1=0
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m²
x1x2+m(x1+x2)+m²-(x1+x2)-m+x1x2=0
2x1x2+m(x1+x2)--(x1+x2)-m+m²=0
2 ×(2m²-2)/3+m(-4m/3)+4m/3-m+m²=0
3m²+m-4=0
m=-4/3 m=1
直线L的方程为
y=x+1 y=x-4/3
打字好不容易呀