如图1，抛物线y=-x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是：直线，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是度；（2）若S△PO

Question

如图1，抛物线y=-x²+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是：直线___，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是___度；
（2）若S_△POQ：S_△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；
（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．

Answer 1

（1）抛物线y=-x²+6x的对称轴x=-(6)/(2×(-1))=3，
∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，
直线y=x是一、三象限的平分线，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=3，45．

（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．

∵S_△POQ：S_△PAQ=1：2，
∴AM=2ON，
∴ON=MH=AH，
∵点A（6，0），H（3，3），
∴点M（0，6），
∴直线PQ的解析式为y=x+6，
由

y=x+6

y=-x2+6x

解得

x=2

y=4

或

x=3

y=3

，
∴点P坐标（2，4）或（3，3）．

（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．

∵∠EMF=90°，
∴∠EMG+∠FMH=90°，
∵∠FMH+∠MFH=90°
∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，
∴△EMG∽△MFH，
∴(GM)/(FH)=(GE)/(MH)，设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），直线EF的解析式为y=mx+n，
∴(1-x1)/(5-y2)=(5-y1)/(x2-1)，
∵y₁=-x₁²+6x₁，y₂=-x₂²+6x₂代入上式整理得到x₁x₂-5（x₁+x₂）+26=0
由√(y=mx+ny=-x作业帮用户2017-10-08扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)