如图，在等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△ECD中，Rt△ACB的顶点A在Rt△ECD的斜边ED上，求证：AE2+AD2=2AC2．（提示：添加辅助线连接BD）

Question

如图，在等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△ECD中，Rt△ACB的顶点A在Rt△ECD的斜边ED上，求证：AE²+AD²=2AC²．（提示：添加辅助线连接BD）

Answer 1

证明：连结BD，

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC

∠ACE=∠BCD

EC=DC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．