如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长；（3）求S△FAD：S△FDB的值．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
（3）求S_△FAD：S_△FDB的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点，
∴DE=EB=EC，∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵BC²=CD•AC，
∴CD=(32)/(5)，AD=(18)/(5)．
又∵△ADB∽△BDC，
∴BD²=AD•CD=(32)/(5)•(18)/(5)．
∴BD=(24)/(5)．
（3）∵∠FDA=∠FBD，∠F=∠F，
∴△FDA∽△FBD，
∴S_△FAD：S_△FDB=((AD)/(BD))2＝(9)/(16)．