设a,b,c为三个非零向量,且向量a+向量b+向量c=0向量,|a|=2|b-c|=2,则|b|+|c|的最大值是?答案是2根号2

Question

设a,b,c为三个非零向量,且向量a+向量b+向量c=0向量,|a|=2|b-c|=2,则|b|+|c|的最大值是?答案是2根号2

Answer 1

a+b+c=0
∴b+c=-a
∴|b+c|=|a|=2,
即：|b+c|=2
∴4=|b+c|²=(b+c)²=b²+2bc+c²
即：b²+2bc+c²=4
再由|b-c|=2可得：
4=|b-c|²=(b-c)²=b²-2bc+c²
即：b²-2bc+c²=4
上面两式相加,可得：
b²+c²=4
即：|b|²+|c|²=4
结合基本不等式：√[2(x²+y²)]≥|x|+|y|,可得：
|b|+|c|≤√[2(|b|²+|c|²)]=√(2×4)=2√2
∴恒有：|b|+|c|≤2√2
∴（|b|+|c|)max=2√2