已知复数z1=i（1-i）3．（1）求argz1及|z1|；（2）当复数z满足|z|=1，求|z-z1|的最大值．

Question

已知复数z₁=i（1-i）³．
（1）求argz₁及|z₁|；
（2）当复数z满足|z|=1，求|z-z₁|的最大值．

Answer 1

（1）z₁=i（1-i）³=2-2i，
将z₁化为三角形式，得z1＝2√(2)(cos(7π)/(4)+isin(7π)/(4))，
∴argz1＝(7π)/(4)，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1．