设n∈N，且n>0，试用数学归纳法证明1+21+22+23+…+23n-1能被31整除．

Question

设n∈N，且n>0，试用数学归纳法证明1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

Answer 1

证明：当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=1+2¹+2²+2³+2⁴=2⁵-1=31能被31整除，
假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，
不妨令1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1=31a，a∈Z，
则n=k+1时，
1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1
=1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k（1+2¹+2²+2³+2⁴）
=31a+31•2^5k也能被31整除，
综上所述n∈N，且n>0时，1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．