试用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2＞12-1n+2．

Question

试用数学归纳法证明(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/((n+1)2)＞(1)/(2)-(1)/(n+2)．

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=(1)/(4)，右边=(1)/(6)，不等式成立
（2）假设当n=k时，原式成立，即(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/((k+1)2)＞(1)/(2)-(1)/(k+2)，
当n=k+1时，(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/((k+1)2)+(1)/((k+2)2)＞(1)/(2)-(1)/(k+2)+(1)/((k+2)2)
∵-(1)/(k+2)+(1)/((k+2)2)+(1)/(k+3)=(1)/((k+2)2(k+3))＞0，
∴-(1)/(k+2)+(1)/((k+2)2)＞-(1)/(k+3)，
∴(1)/(2)-(1)/(k+2)+(1)/((k+2)2)＞(1)/(2)-(1)/(k+3)，
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立
∴(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/((n+1)2)＞(1)/(2)-(1)/(n+2)．