已知数列{an}满足：a1=43，且an+1=4(n+1)an3an+n（n∈N*）．（1）求1a1+2a2+…+nan的值；（2）设bn=ann（n∈N*），用数学归纳法证明：b1b2b3…bn＜2．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁=(4)/(3)，且a_n+1=(4(n+1)an)/(3an+n)（n∈N^*）．
（1）求(1)/(a1)+(2)/(a2)+…+(n)/(an)的值；
（2）设b_n=(an)/(n)（n∈N^*），用数学归纳法证明：b₁b₂b₃…b_n＜2．

Answer 1

（1）∵a_n+1=(4(n+1)an)/(3an+n)，
∴(n+1)/(an+1)-1=(1)/(4)（(n)/(an)-1），
∵a₁=(4)/(3)，
∴{(n)/(an)-1}是以(3)/(4)为首项，(1)/(4)为公比的等比数列，
∴(n)/(an)-1=(3)/(4)•((1)/(4))n−1，
∴(n)/(an)=1+(3)/(4)•((1)/(4))n−1，
∴(1)/(a1)+(2)/(a2)+…+(n)/(an)=n+((3)/(4)(1−(1)/(4n)))/(1−(1)/(4))=n+1-(1)/(4n)；
（2）证明：n=1时，b₁=a₁=(4)/(3)＜2，满足题意；
设n=k时，结论成立，即b₁b₂b₃…b_k＜2(ak+1)/(k+1)，